KONSTRUKSI GEOMETRIS

MODUL KE 4

KONSTRUKSI GEOMETRIS

1. Konstruksi-Konstruksi Dengan Lingkaran

(a) Membagi keliling lingkaran dalam bagian-bagian yang sama:

Pada umumnya membagi keliling lingkaran dapat dilakukan dengan cara membagi sebuah sudut.

Di sini akan dijelaskan cara membagi keliling lingkaran dalam dua belas bagian yang sama. Dengan sebuah penggaris T dan sebuah segitiga 30°- 60° pembagian ini dapat dilakukan dengan mudah seperti gambar 1 berikut.

1. Tariklah diameter dengan segitiga sudut 60° menempel pada penggaris T ke kiri, dan sebuah diameter dengan cara yang sama tetapi sudut 60° menghadap ke kanan.

2. Tariklah diameter dengm cara yang sama, tetapi dengan sudut 30° yang menempel pada penggaris T, sekali menghadap ke kiri dan sekali menghadap ke kanan.

3. Garis-garis diameter dan garis-garis sumbu lingkaran ini akan membagi lingkaran dalam dua belas bagian yang sama.

Pembagian ini dapat diselesaikan juga dengan cara geometris, sebagai berikut ( Gb. 2 ):

1. Gambarlah sumbu-sumbu AB dan CD, dan dengan titik potong 0 dari kedua garis sumbu tadi sebagai titik pusat, gambarlah Iingkaran yang akan dibagi dalam 12 bagian yang sama. Dengan jari-jari lingkaran tersebut buatlah busur-busur kecil dengan titik pusat berturut-turut A, B, C dan D yang memotong lingkaran. Maka titik-titik potong ini merupakan titik-titik pembagi lingkaran.

(b) Menggambar garis singgung pada sebuah lingkaran:

Menggambar garis singgung pada lingkaran melalui titik pada lingkaran dapat diselesaikan seperti Gb. 3.

1. Tentukan titik A sedemkian rupa sehingga PA = OP = jari-jari lingkaran.

2. Hubungkanlah titik 0 dengan A dan perpanjanglah dengan AB = OA. Garis PB adalah garis singgung melalui titik P pada lingkaran.

( c ) Menggambar lingkarax- atau busur lingkaran yang menyinggung pada dua buah garis lurus:

1. Pertama-tama akan dibahas cara membuat lingkaran singgung pada dua garis tegak lurus ( Gb. 4 ).

1. Tentukanlah dua buah titik ti dan T₂, masing-masing pada garis AB dan CD, dimana jarak P’Ti = P’T₂ = jari-jari lingkaran singgung r yang ditanyakan.

2. Dengan ti dan T₂ sebagai titik pusat dan jari-jari r, tentukanlah titik O .Maka titik adalah titik pusat lingkaran singgung yang ditanyakan. Jika dipergunakan mesin gambar atau segitiga, titik 0 dapat ditentukan dengan menarik garis tegak lurus melalui ti dan T₂. Titik 0 adalah titik potong dari dua garis tegak lurus tersebut.

ii) Berikut akan dibahas cara membuat lingkaran singgung pada dua garis berpotongz: Gb.5 ).

1. Tariklah garis-garis EF dan GH masing-masing sejajar dengan AB dan EF, pada lingkaran, yang diketahui.

2. Titik potong dari EF dan GH adalah titik pusat dari lingkaran singgung yang dicar.

--%

^ ) Menggambar garis-garis singgung pada dua lingkaran: Ada dua pasang gsri singgung pada dua

lingkaran, seperti tampak pada Gb. 6.

i) Pasangan garis singgung luar ( Gb. 6 (a)).

Jari-jari lingkaran adalah R dan r, dan jarak antara titik pusat Oi0₂ = c.

1. Buatlah lingkaran dengan jari-jari (R - r) dan titik pusat di-Oi.

2. Tentukanlah titik A pada lingkaran ini, sebagai berikut. Gambarlah busur lingkarar irngan O₂ sebagai titik pusat dan jari-jari c/2, yang memotong lingkaran dengan jari-jari (R - r) di A nn B. Titik O₂ ialah titik tengah dari OiO₂.

3. Hubungkanlah Oi dengan A dan B, dan perpanjanglah garis-garis penghubung ini ^ningga masing-masing memotong lingkaran besar pada Tjdan T’i.

4. Tariklah garis sejajar dengan A0₂ dan BO₂ melalui ti dan T’_s). Garis-garis TiT₂ en T",T’₂ adalah pasangan garis singgung yang pertama.

ii) Pasangan garis singgung dalam (Gb. 6 (b)).

Dengan cara yang sama seperti di atas masalah ini dapat diselesaikan, dengan pen^aan bahwa lingkaran

yang digambar berjari-jari (R + r) pada titik pusat O₂.

(c) Menggambar busur lingkaran yang menyinggung dua buah lingkaran dengar. ji-jari Rj dan R₂_ Di sini terdapat juga dua pasang busur lingkaran singgung.. Pada, Gb 7 hanya digambar se-;ah. i) Pasangan pertama (Gb. 7 (a)).

1. Gambarlah busur-busur lingkaran dengan jari-jari

0: sebagai titik pusat. Kedua busur lingkaran ini akan berpotongan di titik M. 2. Dengan titik M sebagai titik pusat dan jari-jari r gambarlah busur lingkaran yang ditanyakan.

ii) Pasangan kedua (Gb. 7 (b)).

Pelaksanaannya sama seperti di atas, dengan perbedaan jari-jari busur lingkaran. Jari-jari busur lingkaran di sini adalah r - R’dan r - R₂. Setelah ditemukan titik M, maka busur lingkaran singgung dapat diselesaikan dengan mudah.

(/) Panjang garis lurus yang mendekati panjang busur lingkaran atau sebaliknya:

Suatu bagian garis lurus yang panjangnya sama dengan panjang busur lingkaran, atau panjang busur lingkaran yang panjangnya sama dengan panjang garis lurus, dapat digambar dengan cara pendekatan. ^ Menentukan panjang garis lurus yang mendekati panjang busur lingkaran ( Gb. 8 ).

1. Tentukanlah titik bagi C dari busur lingkaran AB, dan perpanjanglah BA dengan AD-AC.

2. Gambarlah garis singgung busur pada titik A, dan gambarlah busur lingkaran dengan jari-jari BD dan

titik pusat D, yang memotong garis singgung tadi di E. Maka AE = AB.

Jika sudut busur AOB lebih besar dari 90°, kesalahannya akan menjadi terlalu besar. Dalam hal ini bagilah busur lingkaran tersebut dalam beberapa bagian dengan sudut yang lebih kecil dari pada 90°, kemudian tentukanlah panjang busur lingkaran seperti di atas. Maka panjang keseluruhan dari busur lingkaran tersebut adalah jumlah dari bagian-bagian panjang busur lingkaran.

ii) Menentukan panjang garis lurus pada busur lingkaran ( Gb. 9 ). 1. Gambarlah garis singgung busur pada titik A. Buatlah AC sama dengan seperempat AB. ^ ’. Gambarlah dengan titik C sebagai titik pusat dan CB sebagai jari-jari busur lingkaran yang memotong

busur lingkaran yang diketahui di D. Maka AD = AB.

Jika sudut busur lebih besar dari 60°, selesaikanlah dengan membaginya dalam dua atau empat bagian dengan cara seperti di atas.

iii) Panjang garis lurus yang mendekati keliling lingkaran.

Cara yang d.gambarkan pada Gb. 10 merupakan pendekatan, tetapi mempunyai ketelitian yang cukup tinggi.

1. Ambillah titik C pada lingkaran, di mana sudut AOC = 30°.

2. Gambarlah CD tegak lurus pada AB.

3. Gambarlah garis singgung pada lingkaran di titik B, dan tentukanlah titik E dengan BE = 3 x AB.

4. Hubungkanlah D dengan E, maka panjang DE adalah pendekatan panjang keliling yang diketahm.

iv) Panjang garis lums yang mendekati panjang keliling setengah lingkaran. Cara pada Gb. 11 merupakan pendekatan dengan ketelitian yang cukup tinggi.

1. Tentukanlah titik C pada garis singgung lingkaran melalui titik B, di mana sudut BOC = 30°.

2. Buat CD = 3 x OA. OA adalah jari-jari lingkaran. ’ . Hubungkanlah D dengan A, maka AD adalah kurang lebih panjang setengah keliling lingkaran yang

diketahui.

Oleh : Nanang Ruhyat, MT.