Pengantar Statika

Modul I

Pengantar Statika

Oleh : Ir. Nanang Ruhyat, MT

1.1 MEKANIKA

Mekanika adalah cabang ilmu fisika yang membahas keadaan benda yang diam atau bergerak di bawah pengaruh aksi gaya. Tak ada pengetahuan langsung lain yang berperan lebih besar dalam analisis teknik daripada mekanika. Sejarah awal ilmu ini merupakan permulaan teknik. Penelitian dan pengembangan modern di bidang getaran, stabilitas dan kekuatan struktur dan mesin, robot, disain roket dan pesawat angkasa, pengendalian otomatis, kemampuan mesin, alir-an fluida, mesin dan alat-alat listrik, dan perilaku molekul, atom, dan subatom sangat bergan-tung kepada prinsip-prinsip dasar mekanika. Pengertian yang mendalam tentang pengetahuan mekanika merupakan prasyarat pokok untuk bekerja dalam bidang-bidang tersebut di atas mau-pun bidang-bidang lainnya.

Mekanika merupakan ilmu fisika yang tertua. Tulisan tertua yang berisi ilmu ini dibuat oleh Archimedes (287-212 sebelum Masehi) yang membahas prinsip pengungkit dan prinsip kemam­puan mengapung. Kemajuan yang besar diawali oleh hukum kombinasi vektor gaya oleh Stevinus (1548-1620), yang juga merumuskan sebagian besar dari prinsip-prinsip statika.

Penyelidikan pertama mengenai persoalan dinamika dilakukan oleh Galileo (1564-1642) dalam kaitan de-ngan percobaannya tentang batu yang jatuh. Perumusan seksama dari hukum-hukum gerak, se-perti halnya hukum gravitasi, dibuat oleh Newton (1642-1727), yang juga menciptakan gagasan perubahan kecil dalam analisis matematis. Sumbangan besar terhadap pengembangan mekanika juga diberikan oleh da Vinci, Varignon, Euler, D’ Alembert, Lagrange, Laplace, dan yang lainnya.

Prinsip-prinsip mekanika sangat tergantung pada matematika yang teliti. Jadi peranan mate-matika sangat penting dalam mekanika teknik, yang merupakan penerapan prinsip-prinsip meka­nika pada penyelesaian persoalan praktis, Buku ini menitik beratkan pengembangan prinsip-prin­sip tersebut dan penerapan-penerapannya. Prinsip dasar mekanika sebenarnya tidak banyak, te-tapi aplikasinya sangat luas dan metode yang digunakan dalam mekanika dipakai di bidang-bi­dang teknik lainnya.

Pelajaran mekanika terdiri atas dua bagian: Statika, yang membahas kesetimbangan benda di bawah pengaruh gaya, dan dinamika, yang membahas gerakan benda.

1.2 KONSEP-KONSEP DASAR

Konsep-konsep dan definisi-definisi yang tepat merupakan landasan untuk mempelajari me­kanika, dan harus dimengerti terlebih dahulu.

Ruang adalah daerah geometri yang ditempati oleh benda yang posisinya digambarkan oleh pengukuran linear dan anguler relatif terhadap sistem koordinat. Untuk persoalan tiga dimensi, niang membutuhkan tiga koordinat bebas, sedangkan untuk persoalan dua dimensi diperlukan hanya dua koordinat saja.

Waktu adalah ukuran peristiwa yang berurutan dan merupakan besaran dasar dalam dinami­ka. Waktu tidak dapat dimasukkan langsung dalam analisis persoalan statika.

Massa adalah ukuran kelembaman benda, yang merupakan penghambat terhadap perubahan kecepatan. Massa merupakan tjal penting untuk persoalan statika karena massa juga merupakan sifat setiap benda yang mengalami gaya tarik-menarik dengan benda lain.

Gaya adalah aksi suatu benda terhadap benda lain. Suatu gaya cenderung menggerakkan se-buah benda menurut arah kerjanya. Aksi sebuah gaya dicirikan oleh besarannya, arah kerjanya, dan titik kerjanya. Gaya adalah besaran vector

Partikel. Sebuah benda yang dimensmya dapat diabaikan disebut partikel. Dalam pengertian matematis, sebuah partikel adalah benda yang dimensinya mendekati nol sehingga dapat dianali-sis sebagai massa titik. Seringkali sebuah partikel dipilih sebagai elemen diferensial dari sebuah benda. Selain itu, apabila dimensi sebuah benda tidak sesuai dengan gambaran posisinya atau aksi gaya yang dikenakan padanya, benda tersebut dapat diperlakukan sebagai partikel.

Benda tegar. Sebuah benda dianggap tegar jika gerakan relatif antar bagian-bagiannya dapat diabaikan langsung. Sebagai contoh, perhitungan tarikan (tension) pada kabel yang menyangga tiang penderek mobil dalam keadaan mengangkut beban pada dasarnya tak terpengaruh oleh re-gangan (deformasi) dalam yang kecil pada anggota-anggota struktural tiang tersebut. Untuk tuju-an ini, dari penentuan gaya luar yang bekerja pada tiang tersebut kita dapat memperlakukannya sebagai benda tegar. Statika terutama membahas perhitungan.gaya luar yang bekerja pada benda tegar yang berada dalam kondisi kesetimbangan. Untuk menentukan tegangan dan regangan dalam, karakteristik deformasi dari material (bahan tiang tersebut harus dianalisis. Analisis jenis ini termasuk dalam pelajaran mekanika benda-benda yang dapat berubah bentuk, yang dipelajari setelah statika.

1.3 SKALAR DAN VEKTOR

Mekanika membahas dua jenis besaran, yaitu skalar dan vektor. Besaran skalar hanya me-nunjukkan besarnya saja. Contoh besaran skalar dalam mekanika adalah waktu, volume, kerapatan, laju, cnergi, dan massa. Besaran vektor memiliki arah, selain besar, dan harus mematuhi hukum jajaran genjang penjumlahan, sebagaimana akan diuraikan dalam pasal ini. Contoh vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, momen, dan momentum.

Besaran fisis yang berupa vektor dapat dikelompokkan dalam tiga kelompok yakni bebas, geser, dan tetap.

Sebuah vektor bebas adalah vektor yang aksinya tidak dibatasi atau dikaitkan dengan sebuah garis yang tunggal dalam ruang. Sebagai contoh, jika sebuah benda bergerak tanpa rotasi, maka gerakan atau pergeseran setiap titik pada benda tersebut dapat dianggap sebagai sebuah vektor, dan vektor ini akan menggambarkan besaran dan arah pergeseran setiap titik pada benda terse­but. Karena itu kita dapat menggambarkan pergeseran benda yang demikian dengan sebuah vek­tor bebas.

Sebuah vektor geser adalah vektor di mana suatu garis tunggal dalam ruang harus diperta-hankan sepanjang besaran vektor tersebut bekerja. Bila kita membahas aksi luar dari suatu gaya pada sebuah benda tegar, gaya tersebut dapat dikenakan pada sembarang titik sepanjang garis kerjanya tanpa mengubah efeknya pada benda secara keseluruhan dan karenanya dapat dipan-dang sebagai vektor geser.

Sebuah vektor tetap adalah vektor di mana sebuah titik kerja tunggal ditentukan, dan oleh karena itu vektor tersebut menempati posisi khusus dalam ruang. Aksi sebuah gaya pada benda yang dapat berubah bentuk atau benda tak-tegar harus ditentukan oleh sebuah vektor tetap pada titik kerja gaya yang bersangkutan. Dalam hal ini gaya dan perubahan bentuk di dalam benda tadi akan bergantung pada titik kerja gaya dan besar gaya serta garis kerjanya.

Sebuah besaran vektor V digambarkan dengan sepotong garis, Gambar 1.1, yang mempunyai arah vektor yang digambarkan oleh ujung panah. Panjang bagian garis berarah tersebut mewakili besaran vektor [V] dan ditulis dengan huruf miring tercetak tipis V. Dalam persamaan skalar dan seringkali pada diagram di mana hanya besar sebuah vektor saja yang dinyatakan, simbol

Gambar 1.1

tersebut ditulis dengan huruf miring tipis. Huruf tebal digunakan untuk besaran vektor di mana arah vektor tersebut merupakan bagian dari penggambaran matematisnya. Jika menulis persamaan vektor kita harus selalu membedakan secara matematis antara vektor dan skalar. Disarankan bahwa dalam semua tulisan tangan, perbedaan tanda yang dipakai untuk tiap-tiap besaran vektor harus jelas seperti garis bawah, V, atau sebuah panah di atas simbol, V, untuk menggantikan huruf tebal dalam cetakan. Arah vektor V dapat diukur dengan sudut 6 dari beberapa arah acuan yang diketahui. Negatif dari V adalah sebuah vektor-V, yang arahnya berrawanan dengan V seba-gaimana ditunjukkan dalam Gambar 1/1.

Di samping memiliki sifat besar dan arah, vektor juga harus mematuhi hukum kombinasi ja-jaran genjang. Hukum ini menetapkan bahwa dua buah vektor V1 dan V₂ , yang dianggap sebagai vektor bebas, Gambar l/2a, dapat digantikan dengan ekivalennya, V, yang merupakan diago­nal jajaran genjang yang dibentuk oleh V₁ dan V₂ sebagai kedua sisinya, seperti ditunjukkan dalam Gambar 1/2b. Kombinasi atau jumlah vektor ini digambarkan oleh persamaan vector di mana tanda tambah yang dipakai sehubungan dengan besaran vektor (huruf tebal) berarti penjumlahan vektor, bukan skalar. Jumlah besaran skalar kedua vektor tersebut biasanya ditulis-kan sebagai V1 + V₂, akan tetapi perlu diingat bahwa menurut geometri jajaran genjang, jelas bahwa v `Vi +V.

Kedua vektor Vi dan V₂ ini, yang diperlakukan sebagai vektor bebas, dapat juga dijumlah-kan secara kepala-ke-ekor dengan hukum segitiga, seperti diperlihatkan dalam Gambar l/2c, untuk menghasilkan jumlah vektor identik V. Dari diagram tersebut kita mengetahui bahwa urutan penjumlahan vektor tidak mempengaruhi jumlah, sehingga V1 + V₂ = V₂ + V1

.

Selisih V1-V₂ antara kedua vektor tersebut dapat diperoleh dengan menambah -V₂ pada Vi sebagaimana diperlihatkan dalam Gambar 1/3, di mana prosedur segitiga atau jajaran genjang dapat digunakan. Selisih V1 antara kedua vektor tersebut dinyatakan oleh persamaan vektor.

v =v₁ - v₂

Gambar 1.2

di mana tanda kurang menunjukkan pengurangan vektor.

Setiap dua vektor atau lebih yang jumlahnya sama dengan vektor V dapat dikatakan sebagai komponen vektor tersebut. Karena itu vektor-vektor V1 dan V₂ dalam Gambar l/4a adalah komponen dari V, masing-masing dalam arah 1 dan 2. Biasanya paling mudah menguraikan kom­ponen vektor yang saling tegaklurus, dan ini disebut komponen persegi panjang. Vektor-vektor Vx dan Vy pada Gambar l/4b merupakan komponen-komponen x dany dari V. Demikian juga d.alam Gambar l/4c, V_x dan Vy adalah komponen x’ dan y’ dari V.

Gambar 1.3.

Gambar 1.4.

Jika dinyatakan dalam komponen persegi panjang, arah vektor terhadap sumbu X ditentukan oleh:

Sebuah vektor V dapat dinyatakan secara matematis dengan mengalikan besarnya, V dengan sebuah vektor n yang besarnya satu satuan dan arahnya berimpit dengan V. Jadi

V= Vn

Dalam cara ini besar dan arah vektor sangat mudah untuk dimasukkan ke dalam sebuah pernya-taan matematis. Dalam banyak persoalan, khususnya persoalan tiga dimensi, adalah lebih mudah

Gambar 1.5

Jika komponen persegi panjang dari V, Gambar 1/5, dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i, j, dan k yang merupakan vektor-vektor dalam arah -x, -y dan -z, berturut-turut, dengan besar satu-satuan. Jumlah vektor dari komponen-komponen ini ditulis

Sekarang kita mensubstitusikan cosinus arab /, m, dan n dari V yang didefinisikan dengan

/ = cos 0, m = cos 0_B n = cos 6,

Jadi kita dapat menuliskan besar komponen-komponen V sebagai

di mana

V_x=lV V_y=mV V_z=nV

V² = V_x² + V_y² + V_z²

perlu dtingat bahwa I² + m² + n² = 1.

1.4 HUKUM NEWTON

Sir Isaac Newton a^dalah orang yang pertama kali menyatakan dengan benar hukum-hukurn dasar yang mengatur gerakan suatu partikel dan mcmperlihatkan keberlakuan hukum-hukum tersebut. Dalam ungkapan yang sedikit berbeda, dengan menggunakan istilah modern, hukum-hukum tersebut adalah:

Hukum I Sebuah partikel akan tetap diam atau terus bergerak dalam sebuah garis lurus de­ngan kecepamn tetap jika tidak ada gaya tak-seimbang yang bekerja padanya.

Hukum II. Percepatan sebuah partikel adalah sebanding dengan gaya resultan yang bekerja padanya dan searah dengan gaya tersebut.

Hukum III . Gaya-gaya aksi dan reaksi antara benda-benda yang berinteraksi memiliki besar yang sama, berlawanan arah, dan segaris.

Kebenaran hukum-hukum ini telah diperiksa melalui banyak pengukuran fisis yang akurat. Hu-kum Newton kedua merupakan dasar bagi sebagian besar analisis dalam dinamika. Bila diterap-kan terhadap partikel bermassa m, hukum tersebut dapat dinyatakan sebagai

F=ma

di mana F adalah gaya resultan yang bekerja pada partikel dan a adalah percepatan resultan ter­sebut. Persamaan ini merupakan persamaan vektor karena arah F harus sama dengan arah a di samping besar F dan wra sama. Hukum Newton pertama berisi prinsip keseimbangan gaya, yang merupakan topik utama dalam pembahasan statika. Sebenarnya hukum ini adalah akibat dari hukum kedua, karena tidak akan ada percepatan jika gaya sama dengan nol, dan partikel tetap dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Hukum pertama tidak menambah sesuatu yang baru mengenai penggambaran gerak tetapi dicantumkan di sini karena merupakan bagian dari pernyataan-pernyataan klasik Newton.

Hukum ketiga merupakan dasar pengertian kita mengenai gaya. Hukum ini menyatakan bah-wa gaya selalu terjadi dalam pasangan gaya yang sama dan berlawanan. Jadi gaya ke bawah yang dikenakan pada meja oleh pinsil selalu disertai oleh gaya ke atas yang sama besar yang dikenakan pada pinsil oleh meja. Prinsip ini berlaku untuk semua gaya, baik yang berubah-ubah maupun yang tetap, tanpa memperhatikan dari mana asalnya dan berlaku pada setiap saat selama gaya di­kenakan. Pengabaian hukum dasar ini merupakan penyebab kesalahan yang amat sering dari para pemula. Dalam menganalisis benda-benda yang mengalami aksi gaya, kita harus benar-benar mengetahui dengan jelas mengenai pasangan-pasangan gaya yang akan ditinjau. Pertama-tama kita perlu memisahkan benda yang akan ditinjau dan kemudian meninjau hanya satu gaya dari pasangan gaya tersebut yang bekerja pada benda yang ditinjau tadi.

1.5 SATU AN

Mekanika berkaitan dengan empat besaran dasar yaitu panjang, massa, gaya, dan waktu. Sa-tuan yang dipakai untuk mengukur besaran-besaran ini tidak semuanya dapat dipilih dengan bebas karena harus sesuai dengan hukum Newton kedua, Persamaan 1/1. Meskipun terdapat sejumlah sistem satuan yang berbeda-beda, namun hanya dua sistem yang dibahas di sini, yakni yang ter-utama digunakan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi. Keempat besaran dasar tersebut di atas beserta satuan-satuannya dicantumkan secara ringkas dalam tabel berikut.

Satuan SI. Satuan Sistem Internasional, disingkat SI (dari bahasa Perancis, System Inter­national d’ Unites), telah diterima di Amerika Serikat serta seluruh dunia dan merupakan versi modern dari sistcm metrik. Bcrkat persetujuan internasional, lambat laun satuan SI akan mcng-gantikan sistem lain yang biasa digunakan. Seperti terlihat pada tabel, dalam satuan SI, massa dalam kilogram (kg), panjang dalam meter (m), dan waktu dalam sekon (s) dipilih sebagai satu­an pokok, dan gaya dalam newton (N) diturunkan dari ketiga satuan scbclumnya oleh Persama-an 1/1. Jadi, gaya (N)=massa(kg) x percepatan (m/s²) atau

N = kg- m/s²

Kita lihat, kemudian, bawha 1 newton adalah gaya’yang dibutuhkan untuk memberikan perce­patan sebcsar 1 m/s² pada sebuah massa seberat 1 kg. Dari percobaan gravitasi di mana W adalah berat dan g adalah percepatan yang ditimbulkan oleh gravitasi, Persamaan 1.1 memberikan

W(N) = m(kg) x g(m/s²)

Satuan yang lazim di A.S. Satuan A.S. atau Sistem Satuan Inggris, yang juga disebut sistem foot-pound-second (FPS), telah menjadi sistem yang biasa dipakai dalam bisnis dan industri di negara-negara yang berbahasa Inggris. Walaupun sistem ini lambat-laun nanti akan diganti de-ngan satuan SI, selama bertahun-tahun mendatang para insinyur harus dapat bekerja baik dengan satuan SI maupun dengan satuan FPS, dan kedua sistem-ini digunakan dengan bebas dalam Mekanika Teknik. Sebagaimana terlihat pada tabel, dalam satuan A.S. atau FPS, panjang dalam kaki (ft), waktu dalam sekon (s), dan gaya dalam pon (Ib) dipilih sebagai satuan pokok, dan massa dalam slug diturunkan dari Persamaan 1/1. Jadi, gaya (lb)=massa(slug) x percepatan (ft/s²), atau

(slugs) = lb-sec² /ft

Kita lihat, kemudian, bahwa 1 slug adalah massa yang mendapat percepatan sebesar 1 ft/s² jika gaya 1 lb bereaksi padanya. Dari percobaan gravitasi di mana W adalah gaya gravitasi atau berat dan g adalah percepatan yang diakibatkan oleh gravitasi Persamaan 1/1 memberikan

m (slugs) =W(lb)/ g(ft/sec²)

Dalam satuan A.S., pon juga digunakan sebagai satuan massa, terutama pada saat menentu-kan sifat termal zat cair dan gas. Apabila perbedaan antara kedua satuan ini diperlukan, satuan gaya seringkali ditulis dengan fbf dan satuan massa dengan Ibm. Dalam buku ini kita akan banyak. menemui satuan gaya, yang agar memudahkan ditulis dengan Ib. Satuan gaya lain dalam sistem A.S. yang sering dipakai adalah kilopon (kip), yang sama dengan 1.000 Ib, dan ton, yang sama dengan 2.000 Ib.

Satuan sistem Internasional (SI) disebut sebagai sistem mutlak karena.pengukuran besaran pokok massa tak bergantung pada lingkungannya. Dilain pihak, Sistem A.S. (FPS) disebut se­bagai sistem grafitasi karena besaran pokok gayanya didefinsiikan sebagai tarikan gravitasi (berat) yang bekerja pada sebuah massa standar dalam kondisi tertentu (permukaan laut dan garis lintang 45°). Satu pon standar juga merupakan gaya yang dibutuhkan untuk memberikan percepatan 32,1740 ft/s pada massa satu-pon.

Dalam satuan SI, kilogram semata-mata hanya digunakan sebagai satuan massa- tidak pernah untuk gaya. Harus ditekankan bahwa dalam sistem gravitasi MKS (massa, kilogram, sekon), yang telah digunakan selama bertahun-tahun di negara-negara tak berbahasa Inggris, kilogram, seperti halnya pon, telah dipakai sebagai satuan gaya dan massa.

Standar utama untuk pengukuran massa, panjang, dan waktu telah ditetapkan oleh persetu­juan internasional sebagai berikut:

Massa. Kilogram didefinisikan sebagai massa suatu silinder platinum-iridium tertentu yang disimpan di Internasional Bureau of Weights and Measures di dekat Paris, Perancis. Sebuah tiru-an yang persis dari silinder ini disimpan di National Bureau of Standards di Amerika Serikat dan digunakan sebagai standar masa di mana-mana.

Panjang. Pada mulanya meter didefinisikan sebagai sepersepuluh juta kali jarak dari kutub ke garis khatulistiwa sepanjang garis bujur (meridian) yang melalui Paris. Lalu kemudian didefi­nisikan sebagai panjang satuan platinum-iridium tertentu yang disimpan di International Bureau of Weight and Measures. Kesulitan dalam perolehan dan ketepatan reproduksi ukuran tersebut mendorong digunakannya standar panjang yang lebih mudah direproduksi dan lebih tepat, yakni yang kini didefinisikan sebagai 1.650.763,73 kali panjang gelombang radiasi tertentu dari atom Krypton 86.

Waktu.Sekon (s) pada mulanya didefinisikan sebagai 1/{86.400) hari surya rata-rata. Ketak-teraturan rotasi bumi menimbulkan kesulitan pada definisi ini, sehingga digunakan standar yang lebih tepat dan dapat direproduksi. Kini sekon didefinisikan sebagai 9.192.631.770 kali periode radiasi dalam keadaan tertentu dari atom cesium-133.

Jelas bahwa untuk sebagian besar pekerjaan teknik, dan untuk tujuan kita dalam mempela-jari mekanika, ketepatan standar-standar tersebut tidak terlalu kita butuhkan.

Harga standar untuk percepatan grafitasi g adalah nilainya pada permukaan laut dan garis lintang 4.5°. Dalam kedua sistem tersebut di atas harga ini ialah

Satuan SI g = .9,80665 m/s²

Satuan A.S. g = 32,1740 ft/s²

Harga pendekatan 9,81 m/s² dan 32,2 ft/s² cukup tepat untuk kebanyakan perhitungan teknik.

Karakteristik pokok satuan SI berikut konversi numerik antara satuan yang lazim di A.S. dan SI dicantumkan pada sampul depan buku ini. Sebagai tambahan, diagram yang dapat mem-berikan konversi antara besaran-besaran pilihan dalam kedua sistem tersebut dicantumkan pada sampul belakang buku ini. Meskipun diagram ini akan sangat membantu dalam menentukan ukuran relatif satuan SI dan A.S., lambat-laun para insinyur akan menyadap bahwa mereka perlu berpikir langsung dalam satuan SI dan tidak lagi bergantung pada konversi dari satuan A.S. Dalam Statika kita terutama berhubungan dengan satuan panjang dan gaya, dengan massa yang disertakan hanya jika kita menghitung gaya gravitasi, seperti yang akan diterangkan pada bagian berikut.

Dalam Gambar 1-6 dilukiskan contoh gaya, massa, dan panjang dalam kedua sistem satuan tersebut di atas untuk membantu membayangkan besar relatifnya.

Gambar 1.6

1.6 HUKUM GRAVITASI

Dalam statika, dan juga dalam dinamika, kita seringkali harus menghitung berat (gaya gravitasi yang bekerja pada) sebuah benda. Perhitungan ini bergantung kepada hukum gravitasi, yang juga dirumuskan oleh Newton. Hukum gravitasi dinyatakan dengan persamaan:

di mana F = gaya. tarik-menarik antara dua buah pattikel

G = konstanta universal yang dikenal sebagai konstanta gravitasi

m₁, m₂ = massa kedua partikel

r=jarakantarapusatpartikel

Gaya tarik-menarik F mengikuti hukum aksi dan reaksi, karena sama besar dan berlawanan, serta mempunyai arah sepanjang garis yang menghubungkan kedua pusat partikel-partikel terse-but. Dari percobaan diperoleh konstanta gravitasi G = 6,673 (10-¹¹) m³/(kg.s²). Gaya gravitasi terdapat pada setiap pasangan benda. Pada permukaan bumi satu-satunya gaya gravitasi yang cukup besar adalah gaya akibat tarikan bumi. Jadi masing-masing dari dua buah bola besi ber-diameter 100 mm ditarik ke bumi oleh gaya gravitasi sebesar 37,1 N, yangdisebut beratnya. Di lain pihak gaya tarik-menarik antara kedua bola tersebut jika keduanya disentuhkan adalah 0,000.000.095 1 N. Jelas gaya ini dapat diabaikan jika tiibandingkan dengan tarikan bumi sebe­sar 37,1 N, dan sebagai akibatnya tarikan gravitasi bumi adalah satu-satunya gaya gravitasi yang cukup besar, yang perlu dipertimbangkan dalam hampir semua percobaan teknik yang dilakukan pada permukaan bumi.

Tarikan gravitasi bumi pada sebuah benda disebut sebagai berat benda tersebut. Gaya ini ada pada benda, baik dalam keadaan diam maupun bergerak. Karena tarikan ini adalah sebuah gaya, maka berat sebuah benda dalam satuan SI harus dinyatakan dalam newton (N). Sayangnya dalam kenyataan sehari-hari satuan massa kilogram (kg) telah dipergunakan secara luas sebagai ukuran berat. Jika dinyatakan dalam kilogram, kata "berat" secara teknis berarti massa, Agar tidak terjadi kerancuan, istilah "berat" dalam buku ini dibatasi hanya untukmengartikan gaya tarikan gravitasi, dan selalu akan dinyatakan dalam Newton.

Untuk benda bermassa m di permukaan bumi, tarikan gravitasi pada benda sebagaimana di-tentukan oleh Persamaan 1/2 dapat dihitung dari hasil percobaan gravitasi sederhana. Jika besar gaya gravitasi atau berat adalah W, maka, karena benda jatuh dengan percepatan g, Persamaan 1-1 memberikan

W=mg (1.3)

Berat W akan dinyatakan dalam newton (N) apabila m dalam kilogram (Kg) dang dalam meter per sekon kuadrat (m/s²). Harga standar g = 9,81 (m/s²) akan cukup akurat untuk perhitungan dalam statika. Harga g tersebut dalam satuan yang lazim di A.S. atau Inggris adalah 32,2 ft/s². Berat sebenarnya (tarikan gravitasi) sedikit berbeda dengan berat yang tampak (yang diukur dengan neraca pegas). Perbedaan tersebut, yang disebabkan oleh rotasi bumi, sangat kecil dan dapat diabaikan.

1.7 KETELITIAN, BATAS, DAN PENDEKATAN

Angka-guna (significant figure) dalam sebuah jawaban tidak boleh lebih besar dari yang dapat dibenarkan oleh ketelitian dari data yang diberikan. Karena itu luas potongan melintang batang berpenampang bujur sangkar dengan sisi 24 mm, bila diukur terhadap milimeter terdekat, harus ditulis 580 mm² dan bukan 576 mm², seperti yang akan didapat bila angka dua puluh empat dikuadratkan.

Jika perhitungan mengandung selisih kecil dalam jumlah besar, ketelian yang lebih baik dalam data dibutuhkan untuk mencapai hasil dengan ketelitian tertentu. Karenanya penting untuk mengetahui bilangan-bilangan 4,2503 dan 4,2391 sampai ketelitian lima angka-guna agar se-lisihnya yang sebesar 0,0112 dinyatakan dengan ketelitian tiga-angka. Dalam perhitungan yang agak panjang, mula-mula memang sulit untuk memperkirakan jumlah angka-guna yang diperlu-kan dalam data asli untuk menjamin ketelitian tertentu yang diinginkan. Ketelitian tiga angka-guna dipandang cukup memenuhi kebutuhan kita untuk sebagian besar perhitungan teknik.

Derajat kuantitas diferensial merupakan hal yang sering menimbulkan kesalah-pahaman. Di-ferensial berderajat tinggi selalu dapat diabaikan dibandingkan diferensial berderajat rendah jika batas matematis didekati. Sebagai contoh, elemen volume A V dari kerucut tegak dengan tinggi h dan jari-jari alas r dapat diambil sebagai irisan lingkaran berjarak x dari puncak dan tebalnya ada-lah Ax, Dapat diperiksa bahwa pernyataan lengkap untuk volume dari elemen tersebut dapat di-tulis sebagai

Harus diketahui bahwa, jika melewati batas dalam perubahan dari ”k ke dV dan dari Ax ke dx, suku-suku dalam (Ax)² dan (Ax)³ dapat dibuang sehingga yang tinggal hanya

yang memberikan pernyataan eksak jika diintegrasi.

Pada waktu membicarakan sudut kecil biasanya kita memakai anggapan sederhana. Tinjau-lah sebuah segitiga siku-siku pada Gambar 1/7 di mana sudut 0, dinyatakan dalam radian, relatif kecil. Dengan besar sisi miring adalah satu, kita dapat mengetahui dari geometri gambar tersebut

Gambar 1.7

bahwa panjang busur 1x¸ dan sin ¸ boleh dikatakan sama. Juga cos ¸ mendekati satu. Lebih lanjut, sin ¸ dan tan ¸ mempunyai harga yang hampir sama. Jadi untuk sudut kecil kita dapat menuliskan

sin ¸ H tan ¸ H ¸ cos ¸ = 1

Pendekatan ini sama dengan mempertahankan suku pertama dalam ekspansi deret untuk ketiga fungsi ini. Sebagai contoh pendekatan ini, untuk sudut sebesar 1°.

1° = 0,017 453 rad

sin 1° = 0,017 452

tan 1° = 0,017 45 5

cos 1° = 0,999 848

Jika diinginkan pendekatan yang lebih teliti, dua buah suku yang pertama dapat dipertahankan, yakni

sin ¸ =¸ - ¸ ³ /6 tan ¸ =¸ +¸ ³ /3 cos¸ = 1 - ¸ ² /2

Kesalahan dalam mengganti sinus dengan sudut untuk 1° adalah 0,005 persen. Untuk 5° kesa-lahannya adalah 0,13 persen, dan untuk 10° kesalahannya masih hanya 0,51 persen. Karena ¸ mendekati nol, jelaslah bahwa hubungan berikut ini benar dalam batas matematis:

sin d¸ =-tan d¸= d ¸ cos d ¸ = 1

Sudut d ¸ tentu saja dinyatakan dalam ukuran radian.

Studi statika diarahkan pada deskripsi kuantitatif dari gaya-gaya yang bekerja pada struktur teknik dalam kesetimbangan. Matematika menentukan hubungan antara beragam besaran yang ada dan memungkinkan kita meramalkan akibat dari hubungan tersebut. Suatu proses pemikiran ganda diperlukan dalam merumuskan deskripsi ini. Di sini kita perlu untuk memikirkan hal-hal yang berkenaan dengan situasi fisis dan yang berkeriaan dengan deskripsi matematis yang berse-suaian. Analisis dari setiap persoalan akan memerlukan peralihan berulang-ulang antara fisis dan matematis. Salah satu sasaran periling bagi para mahasiswa adalah mengembangkan kemampuan untuk membuat peralihan dari pemikiran ini secara bebas. Kita harus mengakui bahwa perumus­an matematis dari suatu persoalan fisis menunjukkan deskripsi pembatasan ideal, atau model, yang mendekati tetapi tidak pernah benar-benar sama dengan keadaan fisis yang sebenarnya.

Pada waktu membuat model matematis ideal untuk sebuah persoalan teknik yang diberikan, pendekatan-pendekatan tertentu akan selalu disertakan. Sebagian dari pendekatan-pendekatan ini boleh jadi matematis, sedangkan yang lainnya mungkin fisis. Sebagai contoh, seringkali kita perlu mengabaikan jarak, sudut, atau gaya yang kecil dibandingkan dengan jarak, sudut, atau gaya yang besar. Sebuah gaya yang terdistribusi pada suatu luasan kecil dan bekerja di tempat tersebut dapat dipandang sebagai gaya yang terpusat jika dimensi luasan tersebut ternyata kecil jika dibandingkan dengan dimensi lain yang bersangkutan. Berat kabel baja per panjang satuan dapat diabaikan jika tegangan pada kabel ternyata jauh lebih besar dari berat totalnya, sedang­kan berat kabel tidak boleh diabaikan apabila persoalan menghendaki perhitungan lendutan (de-fleksi) atau lenturan dari kabel yang tertumpu akibat beratnya. Jadi derajat kerumitan anggapan adalah tergantung pada informasi yang diinginkan dan pada keakuratan yang dikehendaki. Kita harus selalu.siap dengan bermacam-macam anggapan yang dikehendaki dalam perumusan perso-alan-persoalan nyata. Kemampuan untuk memahami dan memanfaatkan anggapan-anggapan yang sesuai dalam perumusan dan penyelesaian persoalan-persoalan teknik tentu saja merupakan salah satu di antara ciri-ciri terpenting dari seorang insinyur yang sukses. Salah satu tujuan utama dari buku ini ialah memberikan kesempatan yang maksimal dalam mengembangkan ke­mampuan tersebut melalui perumusan dan analisis dari banyak persoalan praktek yang me-nyangkut prinsip-prinsip statika.

Grafik merupakan sebuah alat analitis penting yang akan memberikan kita tiga kemudahan. Pertama, memungkinkan kita untuk menggambarkan sistem fisis pada kertas dengan memakai sketsa atau diagram. Penggambaran geometris merupakan hal yang vital dalam penafsiran fisis dan sangat membantu dalam melukiskan aspek tiga dimensi dari banyak persoalan. Kedua, grafik seringkali menghasilkan suatu cara untuk memecahkan hubungan fisis di mana suatu pe­nyelesaian langsung secara matematis menjadi janggal atau sukar. Penyelesaian grafts tak hanya memberikan kita suatu cara praktis untuk mendapatkan hasil, tetapi juga sangat membantu dalam membuat peralihan pemikiran antara situasi fisis dan perrryataan matematis karena kedua-nya muncul secara serentak. Manfaat ketiga dari penggunaan grafik adalah menyajikan hasi!-hasil dalam bentuk diagram atau grafik, yang sangat membantu dalam penyajian hasil.

Cara yang efektif dalam menangam persoalan statika, seperti dalam semua persoalan teknik, adalah hal yang sangat mendasar. Pengembangan kebiasaan yang baik dalam perumusan persoal­an dan dalam menyajikan penyelesaiannya akan merupakan modal yang sangat berharga. Setiap penyelesaian harus dimulai dengan serangkaian logika tahapan-tahapan dari hipotesis sampai pada kesimpulan, dan penyajiannya harus mengandung pernyataan yang jelas dari bagian-bagian berikut ini, yang masing-masing dinyatakan dengan jelas:

1. Data yang diberikan

2. Hasil yang diinginkan

3. Diagram yangdiperlukan

4. Perhitungan

5. Jawaban dan kesimpulan

Sebagai tambahan, sebaiknya kita menggabungkan sederetan pemeriksaan pada perhitungan di pertengahan penyelesaian. Kita harus mengamati pantas tidaknya suatu nilai numerik, dan ke­akuratan serta kesamaan dimensi harus sering diperiksa. Kerapian dan urutan pekerjaan juga penting. Penyelesaian yang ceroboh y-ang sukar dibaca oleh orang lain akan kurang atau tidak berguna. Disiplin yang disertai ketaatan terhadap bentuk yang baik akan menjadi pertolongan yang tak. ternilai untuk pengembangan kemampuan dalam perumusan dan analisis. Banyakper-soalan yang pada mulanya tampak sukar dan rumit menjadi jelas dan langsung dapat diselesaikan jika dlmulai dengan metode yang logis dan berdisiplin dalam penanganannya.

Mata kuliah statika dilandasi oleh hanya beberapa konsep dasar dan meliputi penerapan hu-bungan-hubungan dasar ini terhadap bermacam-macam situasi. Dalam penerapan tersebut, metode analisis sangat penting. Dalam menyelesaikan suatu soal, hukum-hukum yang akan di-terapkan harus benar-benar ada di kepala dan prinsip-prinsip tersebut di atas hrus diterapkan secara cermat dan tepat. Dalam menerapkan prinsip-prinsip yang menetapkan persyaratan untuk gaya-gaya yang bekerja pada sebuah benda, kita perlu untuk memisahkan benda yang dibicara-kan dari semua benda lainnya sehingga dapat melakukan perhitungan yang lengkap dan akurat dari semua gaya yang bekerja pada benda tersebut. Pemisahan ini harus ada dalam pikiran sama baiknya seperti bila digambarkan pada kertas. Diagram benda yang terpisah ini yang menggam-barkan semua gaya luar yang bekerja padanya disebut diagram benda-bebas. Telah lama terbukti bahwa metode diagram-benda-bebas ini mempakan kunci untuk memahami mekanika. Hal ini adalah karena pemisahan suatu benda mempakan alat di mana sebab dan akibat dapat dipisah-kan dengan jelas dan perhatian kita terhadap penerapan yang tepat dari suatu prinsip dapat di-fokuskan secara tepat. Cara menggambar diagram benda bebas dibahas dalam Bab 3, di mana cara tersebut akan dipakai untuk pertama kalinya.

Dalam menerapkan hukum-hukum statika, kita boleh menggunakan nilai numerik dari besar-an-besaran secara langsung untuk menyelesaikan suatu persoalan. Kita dapat juga memakai simbol aljabar untuk mewakili besaran-besaran yang ada dan memberikan jawabannya sebagai suatu rumus. Dengan substitusi numerik, harga masing-masing besaran yang dinyatakan dalam satuan khusus akan menjadi jelas pada setiap tahap perhitungan. Cara pendekatan ini dapat memberi keuntungan nyata apabila arti praktis dari harga tiap-tiap suku adalah penting. Akan tetapi penyelesaian dengan simbol ternyata lebih bermanfaat daripada penyelesaian numerik. Pertama, penyingkatan dengan simbol akan membantu dalam memusatkan perhatian pada hu-bungan antara situasi fisis dan deskripsi matematis yang bersangkutan. Kedua, penyelesaian de­ngan simbol memungkinkan kita melakukan pemeriksaan dimensi pada setiap tahap, sedangkan penggunaan nilai numerik saja dapat menimbulkan ketidaksamaan dimensi. Ketiga, kita dapat memakai penyelesaian dengan simbol berulang kali untuk memperoleh jawaban persoalan yang sama bila digunakan himpunan dan ukuran satuan yang berbeda. Sarana dengan kedua bentuk penyelesaian ini sangatlah perlu.

Para mahasiswa akan menjumpai bahwa penyelesaian persoalan statika dapat diperoleh me-lalui satu dari tiga cara berikut. Pertama, kita dapat memanfaatkan penyelesaian matematis lang­sung dengan perhitungan tangan di mana jawaban muncul sebagai simbol aljabar atau sebagai hasil numerik. Hampir semua persoalan masuk dalam kategori ini. Kedua, kita dapat memperki-rakan grafik. Ketiga, penyelesaian dengan komputer mempakan keuntungan istimewa bila se-jumlah besar persamaan atau variasi parameter disertakan. Ada sejumlah persoalan dalam Statika yang ditujukan sebagai soal penyelesaian-komputer. Persoalan semacam ini terdapat pada akhir kumpulan soal-soal Tinjauan Ulang dan dipilih untuk memaparkan jenis persoalan yang sangat menguntungkan jika diselesaikan dengan komputer. Pemilihan metode penyelesaian yang paling bijaksana merupakan segi penting dari pengalaman untuk memperoleh kemudahan dalam pengerjaan persoalan .

Soal-soal Latihan

1.1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor V =3i + 4j dengan sumbu-x positif.

Jawab: B_x = 126,9°

1.2. Sebuah vektor V yang besarnya 10 satuan terle-tak pada bidang x-y. Jika cosinus arahnya terha-dap sumbu-y adalah -0,8 dan jika komponen-x-nya adalah positif, tulislah pernyataan vektor un­tuk V dengan menggunakan vektor-vektor i dan j.

1.3. Sebuah gaya tertentu dalam pon dinyatakan oleh vektor F = 2i + 6j + 3k. Hitunglah sudut yang di­bentuk oleh F dengan arah -x, -y, dan -z.

Jawab; ¸_x = 73,4°, ; ¸_y = 31,0°, ; ¸ _z = 64,6°

1.4. Vektor-vektor V1 dan V₂ merupakan komponen sebuah vektor tunggal V. Tentukan besar V seca-ra grafis dan periksalah hasilnya secara aljabar.

1.5. Tentukan berat seorang laki-laki dalam newton yang beratnya 200 pon. Tentukan berat anda sendiri dalam newton.

Jawab: 890 N

1.6. Berapa berat 50 kg batang baja dalam pon pada

keadaan standar?

1.7. Sebuah benda beratnya 100 Ib pada permukaan laut dan pada garis lintang 45 . Tentukan massa-nya dalam satuan SI dan A.S.

Jawab: m = 45,4 kg; m = 3,11 Ib-s² /ft

1.8. Hitunglah berat W suatu benda di puncak gunung Everest (ketinggian 8.848 m di atas permukaan laut) jika massanya di permukaan laut adalah 50 kg. Gunakanlah 9,80665 m/s² untuk nilai per­mukaan laut dari£.