Jumat, 31 Juli 2009

Teknik untuk Menganalisis Rangkaian

MODUL 3

Beberapa Teknik untuk

Menganalisis Rangkaian

3-1 Pendahuluan

Salah satu tujuan utama dari bab ini menggunakan metode untuk menyederhanakan analisis dari rangkaian-rangkaian yang lebih sukar. Di antara metode-metode ini adalah superposisi, analisis simpul, loop dan mesh. Kita akan mencoba juga mengembangkan kemampuan untuk memilih metode-metode analisis yang lebih cocok dan mudah. Sering kita hanya berminat di dalam hasil pekerjaan terinci dari bagian terpisah auatu rangkaian kompleks; jika diinginkan metode untuk mengganti sisa dari rangkaian tersebut dengan ekivalen yang sangat disederhanakan. Ekivalen tersebut merupakan sebuah tahanan yang paralel atau seri dengan sebuah sumber ideal. Teorema Thevenin dan teorema Norton akan memungkinkan kita melakukan hal ini.

3-2 Analisis Simpul (Nodal Analysis)

Di dalam bab terdahulu kita meninjau analisis sederhana yang hanya mengandung dua simpul. Kemudian telah kita dapatkan bahwa langkah utama dari analisis diselenggarakan sewaktu kita mendapatkan sebuah persamaan tunggal di dalam sebuah kuantitas yang tak diketahui, yakni tegangan di antara pasangan simpul. Kita sekarang akan membiarkan banyaknya simpul bertambah, dan berpadanan dengan itu terdapat satu kuantitas tambahan yang tak diketahui serta satu persamaan tambahan bagi tiap simpul yang ditambahkan. Jadi, sebuah rangkaian bersimpul tiga seharusnya mempunyai dua tegangan yang tak diketahui dan dua persamaan; sebuah rangkaian bersimpul sepuluh akan mempunyai sembilan tegangan yang tak diketahui dan sembilan persamaan; dan sebuah rangkaian bersimpul N akan memerlukan (N - 1) tegangan dan (N - 1 ) persamaan.

Sebagai contoh, kita tinjau rangkaian bersimpul tiga pada Gambar 3-1a. Kita dapat menegaskan tempat-tempat ketiga simpul tersebut dengan menggambarkan kembali rangkaian, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3-1b, dimana setiap simpul diidentifikasikan dengan sebuah bilangan. Kita kaitkan sekarang, sebuah tegangan dengan setiap simpul, tetapi harus diingat bahwa sebuah tegangan harus didefinisikan di antara dua simpul di dalam sebuah jaringan. Jadi kita pilih sebuah simpul sebagai simpul referensi, dan kemudian mendefinisikan sebuah tegangan di antara setiap simpul lain dan simpul referensi. Kita lihat bahwa akan ada hanya (N - 1) tegangan yang didefinisikan di dalam sebuah rangkaian bersimpul N.

Gambar 3-1: (a) Sebuah rangkaian bersimpul tiga yang diketahui. (b) Rangkaian tersebut digambarkan kembali untuk menegaskan ketiga simpul, dan setiap simpul dinomori. (c) Sebuah tegangan referensi kekutuban, ditetapkan diantara setiap simpul dan simpul referensi. (d) Penunjukan tegangan disederhanakan dengan mengeliminasi referensi kekutuban; di sini diartikan bahwa setiap tegangan diarahkan positif relatif terhadap simpul referensi.

Kita pilih simpul 3 sebagai simpul referensi. Salah satu di antara simpul lain dapat juga dipilih, tetapi akan didapat sedikit penyederhanaan dalam persamaan-persamaan yang dihasilkan, jika simpul yang paling banyak dihubungkan dengan cabang, diidentifikasi sebagai simpul referensi. Di dalam beberapa rangkaian praktis mungkin banyak sekali elemen yang dihubungkan kepada sebuah kotak logam atau casis pada mana rangkaian tersebut dibuat; casis tersebut seringkali dihubungkan melalui sebuah konduktor yang baik ke bumi. Jadi kotak logam itu dapat disebut “bumi”, dan disimpul bumi ini menjadi simpul referensi yang sangat memudahkan. Lebih sering dari itu, simpul referensi tersebut timbul sebagai penyambung bersama melalui alas sebuah diagram rangkaian.

Tegangan simpul 1 relatif terhadap simpul referensi 2 didefinisikan sebagai v₁, dan v₂ didefiniskan sebagai tegangan simpul 2 terhadap simpul referensi. Kedua tegangan ini sudah cukup, dan tegangan di antara setiap pasangan simpul lain dapat dicari di dalam kedua tegangan tersebut. Misalnya, tegangan simpul 1 terhadap simpul 2 adalah (v₁-v₂). Tegangan-tegangan v₁ dan v₂ dan tanda-tanda referensinya diperlihatkan dalam Gambar 3-1c. Dalam gambar ini harga-harga tahanan telah pula diganti dengan harga-harga konduktansi.

Diagram rangkaian tersebut akhirnya disederhanakan dalam Gambar 3-1d dengan melenyapkan semua simbol referensi tegangan. Sebuah simpul referensi ditandai dengan jelas, dan tegangan yang ditempatkan pada setiap seimpul lainnya dimengerti sebagai tegangan dari simpul tersebut terhadap simpul referensi. Inilah satu-satunya keadaan untuk seharusnya kita menggunakan simbol-simbol tegangan tanpa pasangan tanda plus-minus yang diasosiasikan dengan tegangan tersebut, terkecuali untuk simbol batere yang didefinisikan di dalam Gambar 1-8b.

Kita sekarang harus menggunakan hukum arus Kirchoff terhadap simpul 1 dan simpul 2. Hal ini kita lakukan dengan menyamakan arus total yang meninggalkan simpul melalui beberapa konduktansi dengan arus sumber total yang memasuki simpul, jadi

atau

Pada simpul dua kita dapatkan

Persamaan-persamaan diatas adalah persamaan dalam dua besaran yang tak diketahui, yang diinginkan, dan persamaan-persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan mudah. Hasilnya adalah :

v₁ = 5 V

v₂ = 2,5 V

Juga, tegangan pada simpul 1 relatif terhadap simpul 2 adalah (v₁-v₂), atau 2,5 V, dan setiap arus atau daya di dalam rangkaian sekarang dapat dicari dalam satu langkah. Misalnya, arus yang diarahkan ke bawah melalui konduktansi 0,5 W adalah 0,5v_1, atau 2,5 A.

Kita masih harus melihat bagaimana sumber-sumber tegangan dan sumber-sumber tak bebas mempengaruhi analisis simpul. Kita selidiki sekarang konsekuensi dari diikutsertakannya sebuah sumber tegangan.

Sebagai contoh khusus, tinjualah rangkaian yang diperlihatkan dalam Gambar 3-2. Kita masih menetapkan tegangan di antara simpul dan referensi yang sama, v₁, v₂, dan v₃. Pada bab-bab sebelumnya langkah berikut adalah pemakaian hukum arus Kirchoff pada masing-masing dari ketiga simpul yang bukan simpul referensi. Jika kita mencoba mengerjakan ini sekali lagi, kita lihat bahwa kita akan mengalami kesukaran pada simpul 2 dan simpul 3, karena kita tidak mengetahui berapa arus di dalam cabang dengan sumber tegangan. Tidak ada cara yang dapat digunakan untuk menyatakan arus sebagai fungsi tegangan, karena definisi sebuah sumber tegangan adalah justru bahwa tegangan tak tergantung pada arus.

Ada dua jalan keluar dari kesukaran-kesukaran ini. Metode yang lebih sukar ialah menetapkan sebuah arus yang tak diketahui pada cabang dengan sumber tegangan, diteruskan dengan menggunakan hukum arus Kirchoff tiga kali, dan kemudian menggunakan hukum tegangan Kirchoff sekali di antara simpul 2 dan 3, hasilnya adalah empat persamaan dengan empat yang tak diketahui untuk contoh ini.

Metode yang lebih mudah adalah untuk menyepakati bahwa kita terutama berminat dalam tegangan simpul, sehingga kita dapat menghindarkan arus pada cabang sumber tegangan yang menyebabkan kesukaran kita. Hal ini dilakukan dengan memperlakukan simpul 2, simpul 3 dan sumber tegangan bersama-sama seperti semacam simpul-super dan dengan memakaikan hukum arus Kirchoff kepada kedua simpul pada waktu bersamaan. Tentu hal ini mungkin, karena jika arus total yang meninggalkan simpul 2 adalah nol dan arus total yang meninggalkan simpul 3 adalah nol, maka arus yang meninggalkan keseluruhan kedua simpul adalah nol.

Gambar 3-2: Hukum arus Kirchoff digunakan pada simpul-super yang dicakup oleh garis putus-putus, dan tegangan sumber diambil sama dengan v₃ - v₂.

Simpul super ditunjukkan oleh daerah lebih gelap yang dibatasi oleh garis putus-putus pada Gambar 3-2, dan kita buat jumlah keenam arus yang meninggalkan simpul super sama dengan nol. Dimulai dengan cabang konduktansi 3 mho dan bekerja menurut arah jarum jam, didapat

Persamaan hukum arus Kirchoff pada simpul 1 didapat

Kita memerlukan satu persamaan tambahan karena kita mempunyai tiga besaran yang tidak diketahui, dan persamaan tersebut harus menggunakan kenyataan bahwa sebenarnya terdapat sebuah sumber 22-V di antara simpul 2 dan 3,

Dengan menuliskan kembali ketiga persamaan yang terakhir ini,

maka penyelesaian determinan untuk v₁ adalah

Perhatikan tidak adanya simetri terhadap diagonal utama dalam determinan penyebut seperti halnya dengan kenyataan bahwa tidak semua elemen di luar diagonal yang negatif. Ini adalah hasil dari terdapatnya sumber tegangan. Perhatikan juga bahwa tidak ada artinya untuk menamai determinan penyebut sebagai determinan matriks konduktansi, karena baris bawah berasal dari persamaan -v₂ + v₃ = 22, dan persamaan ini tidak tergantung pada konduktansi.

Jadi, kehadiran sumber tegangan memperkecil sebesar satu jumlah simpul bukan acuan di mana kita harus menerapkan KCL, tanpa perduli apakah sumber tegangan menjangkau antara dua simpul bukan acuan atau dihubungkan di antara sebuah simpul dan acuan.

Kita simpulkan metode yang dipakai untuk mendapatkan seperangkat persamaan simpul untuk setiap rangkaian penahan :

1. Buatlah sebuah diagram rangkaian yang bersih dan sederhana. Tunjukkan semua harga elemen dan harga sumber. Setiap sumber harus mempunyai simbol referensinya.

2. Angaplah bahwa rangkaian mempunyai N simpul, pilih satu diantara simpul sebagai simpul refrensi. Kemudian tuliskan tegangan simpul v₁, v₂, … , v_N_-1 pada simpul yang bersangkutan, dengan mengingat bahwa setiap tegangan simpul diukur terhadap referensi yang dipilih.

3. Jika rangkaian hanya mengandung sumber arus, gunakanlah hukum arus Kirchoff pada setiap simpul nonreferensi. Untuk mendapatkan matriks konduktansi jika sebuah rangkaian hanya mempunyai sumber arus bebas, samakan arus total yang meninggalkan setiap simpul melalui semua konduktansi dengan arus sumber total yang memasuki simpul tersebut, dan buatlah urutan suku-suku dari v₁ ke v_N_-1. Untuk setiap sumber arus tak bebas yang ada, nyatakan arus sumber dan kuantitas pengontrol dalam variabel-variabel v₁, v₂, ……. , v_N_-1, jika mereka belum berada dalam bentuk tersebut.

4. Jika rangkaian tersebut mengandung sumber tegangan, bentuklah suatu simpul super sekitar masing-masing sumber dengan mengelilingi sumber dan kedua terminalnya dengan garis putus-putus, yang berarti mereduksi banyaknya simpul dengan satu simpul untuk setiap sumber tegangan yang ada. Tegangan-tegangan simpul yang diterapkan tersebut seharusnya tak berubah. Dengan menggunakan tegangan simpul ke-referensi yang ditetapkan ini, pakailah hukum arus Kirchoff pada setiap simpul atau simpul super (yang tidak berisi simpul referensi) di dalam rangkaian yang diubah ini. Nyatakan setiap tegangan sumber dalam variabel-variabel v₁, v₂, ……, v_N_-1, jika belum berada dalam bentuk tersebut.

Soal Contoh

3-1 Gunakan analisis simpul untuk mencari Å_x di dalam rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar 3-3 jika elemen A adalah: (a) sebuah sumber arus 2 A, dengan panah menuju ke kanan; (b) sebuah tahanan 8 ©; (c) sebuah sumber arus 10 V, dengan referensi positif sebelah kanan.