Jumat, 31 Juli 2009

Rangkaian Sederhana (Bagian ke-2)

MODUL 3


Hukum Eksperimental


dan Rangkaian Sederhana (Bagian ke-2)



6. Kombinasi Tahanan dan Sumber


Beberapa penulisan pesamaan yang telah kita lakukan untuk rangkaian-rangkaian seri dan paralel yang sederhana dapat dihindari. Hal ini dicapai dengan mengganti kombinasi tahanan (resistor) yang relatif sukar dengan sebuah tahanan ekivalen bila mana kita khususnya tak berminat menentukan arus, tegangan, atau daya yang berkaitan dengan masing-masing tahanan di dalam kombinasi tersebut. Semua hubungan yang menyangkut arus, tegangan, dan daya di dalam sisa rangkaian tersebut akan sama.


image001


Gambar 15: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung kombinasi seri dari N tahanan.


(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana: image002.



Mula-mula kita tinjau kombinasi seri N tahanan, yang diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 15. Garis terputus-putus yang mengitari tahanan-tahanan tersebut dimaksudkan untuk menyarankan bahwa tahanan-tahanan tersebut dikurung di dalam sebuah “kotak hitam,” atau barang kali di dalam kamar lain, dan kita ingin mengganti ke N tahanan tersebut dengan satu tahanan dengan besar tahanan Req sehingga sisa rangkaian, yang hanya hal ini hanya sumber tegangan tidak menyadari bahwa perubahan telah dilakukan. Arus sumber, daya, dan tentu saja tegangan akan sama sebelum dan sesudah perubahan tersebut.



Kita pakai hukum tegangan Kirchhoff


image003


dan hukum Ohm


image004


dan kemudian membandingkan hasil ini dengan persamaan sederhana yang dipakai kepada rangkaian ekivalen yang diperlihatkan di dalam Gambar 15b,


image005


Jadi, harga dari tahanan ekivalen untuk N tahanan seri adalah


image006 (7)


Karena itu kita mampu menggantikan sebuah jaringan dua pintu yang terdiri N tahanan dalam seri, dengan satu elemen Req berterminal dua, yang mempunyai hubungan v-i yang sama. Tak ada pengukuran yang dilakukan terhadap “kotak hitam” tersebut, dapat mengungkapkan yang mana dari jaringan yang asli.


Pemeriksaan persamaan tegangan Kirchoff untuk sebuah rangkaian seri juga memperlihatkan dua penyederhanaan lain yang mungkin. Tak ada perbedaan dalam urutan tempat elemen-elemen di dalam sebuah rangkaian seri, dan beberapa sumber tegangan seri dapat diganti dengan sumber tegangan ekivalen yang mempunyai tegangan sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing tegangan tersebut. Biasanya ada sedikit keuntungan mengikutsertakan sebuah sumber tegangan tak bebas dalam sebuah kombinasi seri.


image007


Gambar 16: (a) Sebuah rangkaian seri yang diketahui.


(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana.



Penyederhanaan ini dapat digambarkan dengan meninjau rangkaian yang diperlihatkan di dalam Gambar 16a. Mula-mula kita pertukarkan kedudukan elemen-elemen dalam rangkaian, dan dengan seksama mempertahankan arah yang wajar dari sumber, dan kemudian menggabungkan ketiga tegangan tersebut ke dalam sebuah sumber ekivalen 90-V dan keempat tahanan tersebut dalam sebuah tahanan ekivalen 30-W , seperti yang diperlihatkan pada Gambar 16b. Jadi, dari pada menuliskan


-80 + 10i - 30 + 7i + 5i + 20 + 8i = 0


kita hanya mempunyai


-90 + 30i = 0


dan i = 3 A


Untuk menghitung daya yang diberikan kepada rangkaian oleh sumber 80 V yang muncul di dalam rangkaian yang diketahui, maka kita perlu kembali kepada rangkaian dengan mengetahui bahwa arusnya adalah 3 A. Daya yang ditanya adalah 240 W.


Adalah hal yang menarik bahwa tidak ada elemen dari rangkaian semula yang tinggal di dalam rangkaian ekivalen, kecuali jika kita ingin menghitung kawat-kawat penyambung sebagai elemen-elemen.


Penyederhanaan yang serupa dapat diterapkan kepada rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N konduktansi yang dipasang paralel, seperti dalam Gambar 17a, menghasilkan persamaan hukum arus Kirchoff,


image008


Gambar 17: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung N tahanan paralel


yang mempunyai konduktansi image009. (b) Rangkaian ekivalen


yang lebih sederhana: image010.


image011


atau image012


sedangkan ekivalennya di dalam Gambar 17b memberikan


image013


sehingga


image010


Dinyatakan dalam tahanan dan bukan di dalam konduktansi,



image014


atau image015 (8)



Persamaan terakhir ini barangkali cara yang paling sering digunakan untuk mengkombinasikan elemen-elemen penahan yang pararel. Kombinasi pararel sering dinyatakan dengan tulisan R eq = R1 Q R2 QR3, misalnya.


Hal khusus untuk hanya dua tahanan paralel



image016 atau image017 (9)



seringkali diperlukan. Bentuk terakhir tersebut sangat baik untuk dihafal.


Sumber-sumber arus pararel dapat juga dikombinasikan dengan menambahkan secara aljabar masing-masing arus tersebut, dan urutan elemen-elemen pararel dapat diatur sesukanya.


Berbagai kombinasi yang diterangkan dalam bagian ini digunakan untuk menyederhanakan rangkaian dari Gambar 18a. Misalkan bahwa kita ingin mengetahui daya dan tegangan dari sumber tak bebas. Boleh saja sumber tersebut kita biarkan sendirian, dan kemudian mengkombinasikan kedua sumber yang masih tinggal menjadi satu sumber 2 A. Tahanan dikombinasikan mulai dengan kombinasi paralel dari dua tahanan 6-© menjadi sebuah tahanan 3-©, diikuti oleh kombinasi seri dari 3 © dan 15 ©. Elemen-elemen 18- © dan 9- © berkombinasi paralel untuk menghasilkan 6 ©, dan sampai sejauh inilah yang dapat diteruskan. Tentu yang 6 © dalam susuna paralel dengan 3 © menghasilkan 2 ©, tetapi arus i3, pada mana sumber tergantung menjadi hilang.


image018


Gambar 18: (a) Sebuah rangkaian yang diketahui,


(b) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan.



Dari rangkaian ekivalen dalam Gambar 18b, kita peroleh


image019


dan image020


menghasilkan image021 A


v = 10 V


Jadi, sumber tak-bebas menghasilkan image022W kepada sisa dari rangkaian.


Sekarang jika kita akhirnya ditanyakan mengenai daya yang hilang pada tahanan 15-©, maka kita harus kembali kepada rangkaian semula. Tahanan ini adalah seri dengan tahanan ekivalen 3-©; tegangan sebesar 10 V terdapat melintasi tahanan total 18-©, jadi arus sebesar image023A mengalir melalui tahanan 15-© dan daya yang diserap oleh elemen ini adalah image024, atau 4,63 W.


Soal Contoh


6 Ohmmeter adalah sebuah alat yang mengukur nilai tahanan di antara kedua terminalnya. Berapakah pembacaan yang benar jika alat tersebut dipasangkan pada jaringan dari Gambar 19.









image025





Gambar 19: Lihat Contoh Soal 6.



Jawab


image026



Gambar 20: Bentuk lain dari Gambar 19.



Mula-mula kita serikan tahanan 12 © dan 4 ©, menghasilkan tahanan 16 ©, kemudian diparalelkan dengan tahanan 16 © menghasilkan tahanan 8 ©. Tahanan 8 © tersebut diserikan lagi dengan tahanan 7 © menjadi 15 ©. Langkah terakhir yaitu dengan memparalelkan tahanan 15 © tadi dengan tahanan 30 © menjadi tahanan 10 ©. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat sebagai berikut :


image027


image028 image029


image030


image031 Sehingga Gambar 20 dapat disederhanakan menjadi :



Gambar 21: Penyederhanaan Gambar 20.


maka


(a) image032


image033


(b) image034


image035


(c) image036


image037



7. Pembagian Tegangan dan Arus


Dengan mengkombinasikan tahanan-tahanan dan sumber-sumber, maka kita telah mendapatkan satu metode untuk memperpendek kerja dalam menganalisis sebuah rangkaian. Jalan singkat lain yang berguna adalah pemakaian ide pembagian tegangan dan arus.


image038image039


Gambar 22: Gambaran pembagian tegangan, image040.



Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan melintasi salah satu di antara dua tahanan seri, dinyatakan dalam tegangan melintasi kombinasi itu. Di dalam Gambar 22, tegangan R2 adalah


image041 (10)



atau image040



dan dengan cara yang serupa, tegangan melintasi R1 adalah,



image042 (11)



Bila jaringan pada Gambar 22 digeneralisir dengan menggantikan R2 dengan R2, R3, ......, RN yang berhubungan seri, maka didapat hasil umum pembagian tegangan melintasi suatu untaian N tahanan seri,


image043


Tegangan yang timbul melintasi salah satu tahanan seri tersebut adalah tegangan total dikalikan rasio (perbandingan) dari tahanan dan tahanan total. Pembagian tegangan dan kombinasi tahanan keduanya dapat digunakan.


image044image039


Gambar 23: Gambaran pembagian arus, image045


Ganda (dual) dari pembagian tegangan adalah pembagian arus. Kita sekarang diberi arus total yang masuk ke dalam dua konduktansi pararel, sebagai yang digambarkan oleh rangkaian dari Gambar 23. Arus mengalir melalui G2 adalah


image046


atau image047


dan, dengan cara yang serupa image048



Jadi arus yang mengalir melintasi salah satu di antara konduktansi pararel tersebut adalah arus total dikalikan perbandingan dari konduktansinya dengan konduktansi total.


Karena kita lebih sering diberikan nilai tahanan daripada konduktansi, maka bentuk yang lebih penting dari hasil terakhir didapatkan dengan menggantikan G1 dengan 1/R1 dan G2 dengan 1/R2,


image049


(12)



Kedua persamaan terakhir mempunyai sebuah faktor yang sangat berbeda dari faktor yang digunakan dengan pembagian tegangan dan sejumlah usaha diperlukan untuk menghindari kesalahan-kesalahan. Banyak mahasiswa memandang pernyataan pembagian tegangan sebagai yang “jelas” dan pembagian arus sebagai sesuatu yang “berbeda”. Akan menolong juga untuk menyadari bahwa tahanan yang lebih besar selalu mengangkut arus yang lebih kecil.


Bisa juga kita generalisir hasil ini dengan menggantikan G2 pada Gambar 23 dengan kombinasi pararel G2, G3, .... , GN. Jadi, bagi N konduktansi pararel,


image050


Dinyatakan dalam harga-harga tahanan, hasilnya adalah


image051



Soal Contoh


7. Dalam rangkaian pada Gambar 24: (a) pakailah metode kombinasi tahanan untuk mencari Req; (b) pakailah pembagian arus untuk mencari i1; (c) pakailah pembagian tegangan untuk mencari Å2; (d) pakailah arus untuk mencari i3.


image052





Gambar 24: Lihat Contoh Soal 7.


Jawab


(a) Req didapat dengan memparalelkan tahanan 70 © dan 30 © yang menghasilkan tahanan 21 ©, kemudian diserikan dengan tahanan 9 © yang menghasilkan tahanan 30 ©.


image053



(b) Req, 30 © diparalelkan dengan tahanan 75 menghasilkan image054 kemudian dengan mempergunakan pembagian arus akan didapat,


image055


image056




Gambar 25: (a) Penyederhanaan dari Gambar 24.


(b) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan



(c) tahanan 50 ©, 75 © dan 30 © memiliki tegangan yang sama karena satu simpul (paralel) yaitu,


image057


Dengan mempergunakan pembagian tegangan, Å2 dapat dihitung


image058


(d) arus di tahanan 9 © adalah


image059


maka i3 dapat dihitung dengan mempergunakan pembagian arus,


image060



Soal Latihan


4. Carilah Req bagi jaringan yang ditunjukkan pada Gambar 26.









image061





Gambar 26: Lihat Latihan Soal 4.



  1. (a) Tulis ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan pembagian tegangan, untuk mendapat Å57 dalam rangkaian pada Gambar 27a. (b) Tuliskan ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan pembagian arus, untuk mendapat i57 bagi rangkaian pada Gambar 27b.








image062




image063




Gambar 27: Lihat Latihan Soal 5.



  1. image064Rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar 28 berisi jaringan tangga tahanan tiga seksi. (a) Misalkan iO = 1 A dan setiap kali satu langkah dari kanan ke kiri jaringan kea rah sumber, tentukan VS. (b) Berapakah VS bila iO = 0,4 A ? (c) Bila VS = 100 V, carilah iO.


Gambar 28: Lihat Latihan Soal 6.


Oleh : Dian Widiastuti

blog comments powered by Disqus

Poskan Komentar



 

Mata Kuliah Copyright © 2009 Premium Blogger Dashboard Designed by SAER