Rangkaian Sederhana (Bagian ke-2)

MODUL 3

Hukum Eksperimental

dan Rangkaian Sederhana (Bagian ke-2)

6. Kombinasi Tahanan dan Sumber

Beberapa penulisan pesamaan yang telah kita lakukan untuk rangkaian-rangkaian seri dan paralel yang sederhana dapat dihindari. Hal ini dicapai dengan mengganti kombinasi tahanan (resistor) yang relatif sukar dengan sebuah tahanan ekivalen bila mana kita khususnya tak berminat menentukan arus, tegangan, atau daya yang berkaitan dengan masing-masing tahanan di dalam kombinasi tersebut. Semua hubungan yang menyangkut arus, tegangan, dan daya di dalam sisa rangkaian tersebut akan sama.

Gambar 15: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung kombinasi seri dari N tahanan.

(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana: .

Mula-mula kita tinjau kombinasi seri N tahanan, yang diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 15. Garis terputus-putus yang mengitari tahanan-tahanan tersebut dimaksudkan untuk menyarankan bahwa tahanan-tahanan tersebut dikurung di dalam sebuah “kotak hitam,” atau barang kali di dalam kamar lain, dan kita ingin mengganti ke N tahanan tersebut dengan satu tahanan dengan besar tahanan R_eq sehingga sisa rangkaian, yang hanya hal ini hanya sumber tegangan tidak menyadari bahwa perubahan telah dilakukan. Arus sumber, daya, dan tentu saja tegangan akan sama sebelum dan sesudah perubahan tersebut.

Kita pakai hukum tegangan Kirchhoff

dan hukum Ohm

dan kemudian membandingkan hasil ini dengan persamaan sederhana yang dipakai kepada rangkaian ekivalen yang diperlihatkan di dalam Gambar 15b,

Jadi, harga dari tahanan ekivalen untuk N tahanan seri adalah

(7)

Karena itu kita mampu menggantikan sebuah jaringan dua pintu yang terdiri N tahanan dalam seri, dengan satu elemen R_eq berterminal dua, yang mempunyai hubungan v-i yang sama. Tak ada pengukuran yang dilakukan terhadap “kotak hitam” tersebut, dapat mengungkapkan yang mana dari jaringan yang asli.

Pemeriksaan persamaan tegangan Kirchoff untuk sebuah rangkaian seri juga memperlihatkan dua penyederhanaan lain yang mungkin. Tak ada perbedaan dalam urutan tempat elemen-elemen di dalam sebuah rangkaian seri, dan beberapa sumber tegangan seri dapat diganti dengan sumber tegangan ekivalen yang mempunyai tegangan sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing tegangan tersebut. Biasanya ada sedikit keuntungan mengikutsertakan sebuah sumber tegangan tak bebas dalam sebuah kombinasi seri.

Gambar 16: (a) Sebuah rangkaian seri yang diketahui.

(b) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana.

Penyederhanaan ini dapat digambarkan dengan meninjau rangkaian yang diperlihatkan di dalam Gambar 16a. Mula-mula kita pertukarkan kedudukan elemen-elemen dalam rangkaian, dan dengan seksama mempertahankan arah yang wajar dari sumber, dan kemudian menggabungkan ketiga tegangan tersebut ke dalam sebuah sumber ekivalen 90-V dan keempat tahanan tersebut dalam sebuah tahanan ekivalen 30-W , seperti yang diperlihatkan pada Gambar 16b. Jadi, dari pada menuliskan

-80 + 10i - 30 + 7i + 5i + 20 + 8i = 0

kita hanya mempunyai

-90 + 30i = 0

dan i = 3 A

Untuk menghitung daya yang diberikan kepada rangkaian oleh sumber 80 V yang muncul di dalam rangkaian yang diketahui, maka kita perlu kembali kepada rangkaian dengan mengetahui bahwa arusnya adalah 3 A. Daya yang ditanya adalah 240 W.

Adalah hal yang menarik bahwa tidak ada elemen dari rangkaian semula yang tinggal di dalam rangkaian ekivalen, kecuali jika kita ingin menghitung kawat-kawat penyambung sebagai elemen-elemen.

Penyederhanaan yang serupa dapat diterapkan kepada rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N konduktansi yang dipasang paralel, seperti dalam Gambar 17a, menghasilkan persamaan hukum arus Kirchoff,

Gambar 17: (a) Sebuah rangkaian yang mengandung N tahanan paralel

yang mempunyai konduktansi . (b) Rangkaian ekivalen

yang lebih sederhana: .

atau

sedangkan ekivalennya di dalam Gambar 17b memberikan

sehingga

Dinyatakan dalam tahanan dan bukan di dalam konduktansi,

atau (8)

Persamaan terakhir ini barangkali cara yang paling sering digunakan untuk mengkombinasikan elemen-elemen penahan yang pararel. Kombinasi pararel sering dinyatakan dengan tulisan R _eq = R₁ Q R₂ QR₃, misalnya.

Hal khusus untuk hanya dua tahanan paralel

atau (9)

seringkali diperlukan. Bentuk terakhir tersebut sangat baik untuk dihafal.

Sumber-sumber arus pararel dapat juga dikombinasikan dengan menambahkan secara aljabar masing-masing arus tersebut, dan urutan elemen-elemen pararel dapat diatur sesukanya.

Berbagai kombinasi yang diterangkan dalam bagian ini digunakan untuk menyederhanakan rangkaian dari Gambar 18a. Misalkan bahwa kita ingin mengetahui daya dan tegangan dari sumber tak bebas. Boleh saja sumber tersebut kita biarkan sendirian, dan kemudian mengkombinasikan kedua sumber yang masih tinggal menjadi satu sumber 2 A. Tahanan dikombinasikan mulai dengan kombinasi paralel dari dua tahanan 6-© menjadi sebuah tahanan 3-©, diikuti oleh kombinasi seri dari 3 © dan 15 ©. Elemen-elemen 18- © dan 9- © berkombinasi paralel untuk menghasilkan 6 ©, dan sampai sejauh inilah yang dapat diteruskan. Tentu yang 6 © dalam susuna paralel dengan 3 © menghasilkan 2 ©, tetapi arus i₃, pada mana sumber tergantung menjadi hilang.

Gambar 18: (a) Sebuah rangkaian yang diketahui,

(b) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan.

Dari rangkaian ekivalen dalam Gambar 18b, kita peroleh

dan

menghasilkan A

v = 10 V

Jadi, sumber tak-bebas menghasilkan W kepada sisa dari rangkaian.

Sekarang jika kita akhirnya ditanyakan mengenai daya yang hilang pada tahanan 15-©, maka kita harus kembali kepada rangkaian semula. Tahanan ini adalah seri dengan tahanan ekivalen 3-©; tegangan sebesar 10 V terdapat melintasi tahanan total 18-©, jadi arus sebesar A mengalir melalui tahanan 15-© dan daya yang diserap oleh elemen ini adalah , atau 4,63 W.

Soal Contoh

6 Ohmmeter adalah sebuah alat yang mengukur nilai tahanan di antara kedua terminalnya. Berapakah pembacaan yang benar jika alat tersebut dipasangkan pada jaringan dari Gambar 19.

Gambar 19: Lihat Contoh Soal 6.

Jawab

Gambar 20: Bentuk lain dari Gambar 19.

Mula-mula kita serikan tahanan 12 © dan 4 ©, menghasilkan tahanan 16 ©, kemudian diparalelkan dengan tahanan 16 © menghasilkan tahanan 8 ©. Tahanan 8 © tersebut diserikan lagi dengan tahanan 7 © menjadi 15 ©. Langkah terakhir yaitu dengan memparalelkan tahanan 15 © tadi dengan tahanan 30 © menjadi tahanan 10 ©. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat sebagai berikut :

Sehingga Gambar 20 dapat disederhanakan menjadi :

Gambar 21: Penyederhanaan Gambar 20.

maka

(a)

(b)

(c)

7. Pembagian Tegangan dan Arus

Dengan mengkombinasikan tahanan-tahanan dan sumber-sumber, maka kita telah mendapatkan satu metode untuk memperpendek kerja dalam menganalisis sebuah rangkaian. Jalan singkat lain yang berguna adalah pemakaian ide pembagian tegangan dan arus.

Gambar 22: Gambaran pembagian tegangan, .

Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan melintasi salah satu di antara dua tahanan seri, dinyatakan dalam tegangan melintasi kombinasi itu. Di dalam Gambar 22, tegangan R₂ adalah

(10)

atau

dan dengan cara yang serupa, tegangan melintasi R₁ adalah,

(11)

Bila jaringan pada Gambar 22 digeneralisir dengan menggantikan R₂ dengan R₂, R₃, ......, R_N yang berhubungan seri, maka didapat hasil umum pembagian tegangan melintasi suatu untaian N tahanan seri,

Tegangan yang timbul melintasi salah satu tahanan seri tersebut adalah tegangan total dikalikan rasio (perbandingan) dari tahanan dan tahanan total. Pembagian tegangan dan kombinasi tahanan keduanya dapat digunakan.

Gambar 23: Gambaran pembagian arus,

Ganda (dual) dari pembagian tegangan adalah pembagian arus. Kita sekarang diberi arus total yang masuk ke dalam dua konduktansi pararel, sebagai yang digambarkan oleh rangkaian dari Gambar 23. Arus mengalir melalui G₂ adalah

atau

dan, dengan cara yang serupa

Jadi arus yang mengalir melintasi salah satu di antara konduktansi pararel tersebut adalah arus total dikalikan perbandingan dari konduktansinya dengan konduktansi total.

Karena kita lebih sering diberikan nilai tahanan daripada konduktansi, maka bentuk yang lebih penting dari hasil terakhir didapatkan dengan menggantikan G₁ dengan 1/R₁ dan G₂ dengan 1/R₂,

(12)

Kedua persamaan terakhir mempunyai sebuah faktor yang sangat berbeda dari faktor yang digunakan dengan pembagian tegangan dan sejumlah usaha diperlukan untuk menghindari kesalahan-kesalahan. Banyak mahasiswa memandang pernyataan pembagian tegangan sebagai yang “jelas” dan pembagian arus sebagai sesuatu yang “berbeda”. Akan menolong juga untuk menyadari bahwa tahanan yang lebih besar selalu mengangkut arus yang lebih kecil.

Bisa juga kita generalisir hasil ini dengan menggantikan G₂ pada Gambar 23 dengan kombinasi pararel G₂, G₃, .... , G_N. Jadi, bagi N konduktansi pararel,

Dinyatakan dalam harga-harga tahanan, hasilnya adalah

Soal Contoh

7. Dalam rangkaian pada Gambar 24: (a) pakailah metode kombinasi tahanan untuk mencari R_eq; (b) pakailah pembagian arus untuk mencari i₁; (c) pakailah pembagian tegangan untuk mencari Å₂; (d) pakailah arus untuk mencari i₃.

Gambar 24: Lihat Contoh Soal 7.

Jawab

(a) R_eq didapat dengan memparalelkan tahanan 70 © dan 30 © yang menghasilkan tahanan 21 ©, kemudian diserikan dengan tahanan 9 © yang menghasilkan tahanan 30 ©.

(b) R_eq, 30 © diparalelkan dengan tahanan 75 menghasilkan kemudian dengan mempergunakan pembagian arus akan didapat,

Gambar 25: (a) Penyederhanaan dari Gambar 24.

(b) Rangkaian ekivalen yang disederhanakan

(c) tahanan 50 ©, 75 © dan 30 © memiliki tegangan yang sama karena satu simpul (paralel) yaitu,

Dengan mempergunakan pembagian tegangan, Å₂ dapat dihitung

(d) arus di tahanan 9 © adalah

maka i₃ dapat dihitung dengan mempergunakan pembagian arus,

Soal Latihan

4. Carilah R_eq bagi jaringan yang ditunjukkan pada Gambar 26.

Gambar 26: Lihat Latihan Soal 4.

5. (a) Tulis ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan pembagian tegangan, untuk mendapat Å₅₇ dalam rangkaian pada Gambar 27a. (b) Tuliskan ungkapan satu baris dengan menggunakan kombinasi tahanan dan pembagian arus, untuk mendapat i₅₇ bagi rangkaian pada Gambar 27b.

Gambar 27: Lihat Latihan Soal 5.

6. Rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar 28 berisi jaringan tangga tahanan tiga seksi. (a) Misalkan i_O = 1 A dan setiap kali satu langkah dari kanan ke kiri jaringan kea rah sumber, tentukan V_S. (b) Berapakah V_S bila i_O = 0,4 A ? (c) Bila V_S = 100 V, carilah i_O.

Gambar 28: Lihat Latihan Soal 6.

Oleh : Dian Widiastuti