Rangkaian Sederhana (Bagian ke-1)

MODUL 2

Hukum Eksperimental

dan Rangkaian Sederhana (Bagian ke-1)

1. Pendahuluan

Pada pembahasan ini dibatasi pada analisis rangkaian sederhana yang hanya mempunyai sumber arus, sumber tegangan dan tahanan; sumber tersebut boleh yang bebas atau pun yang tak bebas. Di dalam menganalisis rangkaian ini kita akan menggunakan beberapa transformasi jaringan, teorema jaringan, dan metode-metode matematik yang akan dapat kita terapkan kelak, dengan hanya mengadakan sedikit perubahan, kepada rangkaian yang mengandung elemen pasif lain yang dirangsang oleh sumber yang berubah terhadap waktu. Kita akan mempelajari metode yang berguna dalam analisis rangkaian dengan cara penerapannya pada keadaan yang sesederhana mungkin, yakni rangkaian penahan (resistive circuit).

2. Hukum Ohm

Hukum Ohm mengatakan bahwa tegangan melintasi berbagai jenis bahan pengantar adalah berbanding lurus kepada arus yang mengalir melalui bahan tersebut,

(1)

di mana konstanta pembanding R dinamai resistansi (tahanan). Satuan tahanan adalah ohm, yang sama dengan 1 V/A dan biasanya disingkat dengan huruf omega besar, ©.

Gambar 1 : Simbol rangkaiana untuk sebuah tahanan; R = v / i, dan p = vi = i2 R = v2 / R

Gambar 1 memperlihatkan simbol rangkaian yang paling umum yang dipakai untuk sebuah tahanan. Sesuai dengan konvensi tegangan, arus dan daya yang dipakai dalam bab yang lalu, hasil perkalian antara v dan i akan memberikan daya yang diserap oleh tahanan tersebut. Yakni, v dan i dipilih sehingga memenuhi konvensi tanda pasif. Daya yang diserap timbul sebagai panas dan nilainya selalu positif; sebuah tahanan adalah elemen pasif, yang tidak bisa menyerahkan daya atau menyimpan energi. Cara lain, untuk menyatakan daya yang diserap adalah

(2)

Perbandingan diantara arus dan tegangan adalah juga sebuah konstanta,

(3)

di mana G dinamai konduktansi. Satuan untuk konduktansi adalah mho, yakni, 1 A/V, dan disingkat dengan huruf omega terbalik. Simbol rangkaian yang sama digunakan untuk menyatakan resistansi dan konduktansi. Satuan SI untuk konduktansi adalah Siemens, istilah yang tidak banyak digunakan di Amerika Serikat. Lambang rangkaian yang sama digunakan baik untuk resistansi maupun konduktansi. Daya yang diserap adalah juga positif dan dapat dinyatakan dalam konduktansi

(4)

Resistansi dapat digunakan sebagai dasar untuk mendefinisikan dua istilah yang umum digunakan, yakni hubungan pendek (short circuit), dan rangkaian terbuka (open circuit). Kita definisikan hubungan pendek sebagai sebuah tahanan yang besarnya nol ohm; maka, karena , tegangan melintasi sebuah rangkaian pendek harus sama dengan nol, walaupun besarnya arus boleh sembarang. Dengan cara yang sama, kita definisikan rangkaian terbuka sebagai tahanan yang mempunyai tahanan tak berhingga. Jelaslah bahwa arusnya sama dengan nol, tak perduli berapa tegangan melintasi rangkaian terbuka tersebut.

3. Hukum-hukum Kirchoff

Gustav Robert Kirchoff, seorang guru besar universitas berkebangsaan Jerman yang lahir kira-kira pada waktu Ohm melakukan percobaannya. Hukum aksiomatik ini dinamakan hukum arus Kirchoff (Kirchoof’s Current Law, disingkat KCL), yang mengatakan bahwa

	jumlah aljabar semua arus yang memasuki sebuah simpul adalah nol.

Bila ada arus netto yang masuk sebuah simpul, maka laju penumpukan coulomb pada simpul tersebut tidak sama dengan nol. Tetapi, sebuah simpul bukanlah suatu elemen rangkaian dan pasti tidak bisa menyimpan, memusnahkan atau membangkitkan muatan. Sehingga dengan demikian arus harus berjumlah nol

atau i₁ + i₂ + i₃ + ... + i_N = 0 (5)

Kita sekarang beralih ke hukum tegangan Kirchhoff ( Kirchhoff’s voltage law, disingkat KVL ). Hukum ini mengatakan bahwa

Kita harus lagi menerima hukum ini sebagai aksioma, walaupun hukum ini dikembangkan di dalam pendahuluan teori elektromagnetik.

Arus adalah yang berkaitan dengan muatan yang mengalir melalui sebuah elemen rangkaian, sedangkan tegangan adalah suatu ukuran selisih energi potensial melintasi elemen.

Jadi bila kita melalui suatu jalan tertutup, maka jumlah aljabar dari tegangan melintasi elemen individual sekelilingnya haruslah nol. Jadi, bisa kita tulis

atau v₁ + v₂ + v₃ + ... + v_N = 0 (6)

Hukum tegangan Kirchoff adalah suatu konsekuensi kekekalan energi dan sifat konservatif rangkaian listrik. Hukum ini juga bisa ditafsirkan menurut analogi gaya berat. Bila suatu massa digerakkan sekeliling jalan tertutup dalam sebuah medan gravitasi konservatif, maka kerja total yang dilakukan terhadap massa tersebut adalah nol. Kita bisa juga menerapkan KVL pada rangkaian dengan beberapa cara yang berbeda.

Soal Contoh

1. Tentukan jumlah cabang dan simpul pada tiap rangkaian pada Gambar 2.

2. Tentukan i_x pada tiap rangkaian pada Gambar 2.

3. Tentukan v_x pada tiap rangkaian pada Gambar 2.

Gambar 2: Lihat Contoh Soal 1, 2 dan 3

Jawab

Pada Gambar (a)

Gambar 3: Penjelasan dari Gambar 2a.

1. Jumlah cabang 6; jumlah simpul 5

2. Dengan mempergunakan KCL pada Simpul

3. Dengan mempergunakan KVL pada Loop

Pada Gambar (b)

Gambar 4: Penjelasan dari Gambar 2b.

1. Jumlah cabang 6; jumlah simpul 4

2. Dengan mempergunakan KCL pada Simpul

3. Dengan mempergunakan KVL pada Loop

Pada Gambar (c)

Gambar 5: Penjelasan dari Gambar 2c.

1. Jumlah cabang 5; jumlah simpul 3

2. Tegangan pada cabang a - b bernilai sama pada cabang c - d karena satu simpul sehingga

Dengan mempergunakan KVL pada Loop

Dengan mempergunakan KCL pada Simpul

3.

4. Analisa Rangkaian Loop Tunggal

Kita akan menganggap bahwa nilai tahanan dan tegangan sumber dari Gambar 6a diketahui dan mencoba menentukan arus yang melalui setiap elemen, tegangan melintasi setiap elemen, dan tenaga yang diberikan atau yang diserap oleh setiap elemen.

Gambar 6: (a) Model rangkaian dengan nilai tegangan sumber dan tahanan diketahui, (b) Tanda-tanda referensi tegangan dan arus ditambahkan pada rangkaian.

Langkah kita yang pertama dalam analisis tersebut adalah asumsi mengenai arah referensi untuk arus-arus yang tak diketahui karena kita tidak tahu sebelumnya arah-arah tersebut. Secara acak, kita sebuah arus yang tak diketahui i, menurut arah jarum mengalir keluar dari terminal atas sumber tegangan kiri. Pemilihan ini ditandai dengan sebuah panah dengan tanda i pada rangkaian, seperti diperlihatkan di dalam Gambar 6b. Penggunaan trivial dari hukum arus Kirchoff memastikan bahwa arus yang sama harus mengalir juga melalui setiap elemen di dalam rangkaian tersebut. Kita dapat menekankan fakta ini sekarang dengan menempatkan beberapa simbol arus di sekitar rangkaian.

Berdasarkan definisi, semua elemen yang menyangkut arus yang sama dikatakan dihubungkan secara seri (deret). Perhatikan bahwa elemen-elemen boleh mengangkut arus yang besarnya sama tetapi tidak tersusun secara seri; dua bola 100 W di dalam rumah yang bertetangga mungkin saja mengangkut arus yang sama besarnya, tetapi mereka tidak mengangkut arus yang sama, dan tidak seri satu sama lain.

Langkah kedua dalam analisis tersebut adalah pemilihan referensi tegangan untuk masing-masing dari kedua tahanan. Telah kita dapat bahwa penggunaan hukum Ohm, v = Ri, menghendaki bahwa arah arus dan tegangan harus dipilih sehingga arus memasuki terminal di mana ditempatkan referensi tegangan positif. Jika pemilihan arus adalah sembarang, maka pemilihan arah tegangan akan tertentu jika kita bermaksud menggunakan hukum Ohm didalam bentuk v = Ri. Tegangan v_R1 dan v_R2 diperlihatkan di dalam Gambar 6b.

Langkah ketiga adalah penggunaan hukum tegangan Kirchhoff pada jalan tertutup yang ada. Misalkan kita putuskan untuk bergerak di sekitar rangkaian di dalam arah perputaran jarum jam, dimulai pada sudut kiri bawah dan menuliskan langsung setiap tegangan yang pertama ditemui pada referensi positif dan menuliskan negatif dari tegangan yang ditemui pada terminal negatif. Jadi,

Akhirnya, kita gunakan hukum Ohm kepada elemen penahan,

dan

dan mendapatkan

persamaan ini dipecahkan untuk i, sehingga

di mana kuantitas di ruas kanan diketahui yang memungkinkan kita untuk menentukan i. Tegangan atau arus yang diasosiasikan dengan setiap elemen, dapat sekarang ditentukan dalam satu langkah dengan menggunakan , , atau .

Soal Contoh

4. Untuk rangkaian yang diperlihatkan di dalam Gambar 7, tentukan : (a) i_a ; (b) v_a ; (c) daya yang diberikan oleh batere 15 V.

Gambar 7: Lihat Contoh Soal 4.

Jawab

Gambar 8: Bentuk lain dari Gambar 7.

Dengan mempergunakan KVL pada Loop

(menyerap daya)

5. Rangkaian Pasangan Simpul Tunggal

Padanan dari rangkaian yang mempunyai satu jalan tertutup (rangkaian berloop tunggal) yang dibicarakan di atas adalah rangkaian pasangan simpul tunggal di mana sebarang banyaknya elemen sederhana dihubungkan di antara pasangan simpul yang sama. Satu contoh rangkaian seperti itu diperlihatkan di dalam Gambar 9. Kedua sumber arus dan nilai konduktansi diketahui, dan kita akan mencari tegangan, arus, dan daya yang diasosiasikan dengan setiap elemen sekali lagi.

Gambar 9: (a) Sebuah rangkaian pasangan simpul tunggal.

(b) Tegangan dan kedua arus ditetapkan

Langkah kita yang pertama sekarang adalah menganggap adanya tegangan yang melintasi setiap elemen, dan menetapkan sebarang kebutuhan referensi. Maka hukum tegangan Kirchhoff memaksa kita untuk mengakui bahwa tegangan yang melintasi setiap cabang adalah sama karena sebuah jalan tertutup melalui setiap cabang dari satu simpul ke simpul yang lain dan kemudian dilengkapi melalui setiap cabang lain. Tegangan total sebesar nol menghendaki tegangan yang identik melintasi setiap elemen. Kita katakan bahwa elemen-elemen yang mempunyai tegangan bersama melalui elemen-elemen tersebut dihubungkan secara paralel. Kita namai tegangan ini v dan memilihnya sembarangan, seperti diperlihatkan di dalam Gambar 9b.

Dua arus, yang mengalir di dalam tahanan, kemudian dipilih sesuai dengan konvensi yang didapatkan dengan hukum Ohm. Arus-arus ini diperlihatkan juga di dalam Gambar 9b.

Langkah ketiga di dalam analisis rangkaian simpul tunggal adalah pemakaian hukum arus Kirchhoff pada salah satu dari kedua simpul di dalam rangkaian tersebut. Biasanya lebih jelas untuk memakaikannya kepada simpul di mana ditetapkan referensi tegangan positif, dan karena itu kita akan menyamakan jumlah aljabar arus yang meninggalkan simpul atas dengan nol,

Akhirnya, arus di dalam tiap tahanan dinyatakan di dalam u dan konduktansi tahanan menurut hukum Ohm,

dan

dan kita dapatkan

jadi,

v = 2 V

i₃₀ = 60 A dan i₁₅ = 30 A

Harga nilai-nilai dari daya yang diserap sekarang didapat dengan mudah. Di dalam kedua tahanan tersebut,

W W

dan untuk kedua sumber,

W W

Jadi, sumber arus yang lebih besar memberi 240 W kepada ketiga elemen lain di dalam rangkaian, dan hukum kekekalan energi pun dibutuhkan lagi.

Soal Contoh

5 Untuk rangkaian pasangan-simpul-tunggal yang ditunjukkan pada Gambar 10, carilah daya yang diserap oleh masing-masing dari kelima elemen.

Gambar 10: Lihat Contoh Soal 5.

Jawab

Rangkaian dapat disederhanakan menjadi

Gambar 11: Penyederhanaan Gambar 10.

Dengan mempergunakan KCL pada Simpul

(memberikan daya)

(memberikan daya)

karena tidak dilalui oleh arus sehingga dayanya NOL.

Soal Latihan

1. Dalam rangkaian pada Gambar 12, carilah daya yang diserap oleh (a) sumber 4 A; (b) tahanan 2 ©; (c) tahanan 12 ©; (d) tahanan 2,25 ©; (e) tahanan 6 ©; (f) sumber tegangan V_s.

Gambar 12: Lihat Latihan Soal 1.

2. Dalam rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar 13, X adalah sebuah elemen rangkaian sederhana. Anggap bahwa X menyerap 100 W dan: (a) tentukan R, bila X adalah tahanan yang lebih besar dari 5 ©;(b) tentukan v_s, acuan + sebelah atas, bila X adalah sumber tegangan bebas v_s < 5 V.

Gambar 13: Lihat Latihan Soal 2.

3. Pada Gambar 14, cailah daya yang diberikan oleh masing-masing sumber tak bebas jika besarnya: (a) 3i_A; (b) 3i_B.

Gambar 14: Lihat Latihan Soal 3.

Oleh : Dian Widiastuti